Question

8．設(shè)$\overrightarrow{a}$=2（sinx，1-$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx，1+$\sqrt{2}$cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期，當(dāng)x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]時，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡可得f（x）的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，再結(jié)合x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]，得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sinxcosx 1-2cos²x=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得它的最小正周期為T=$\frac{2π}{|ω|}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
再結(jié)合x∈[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{3}{8}$π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．