Question

【題目】設(shè)是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)， 是其前n項的和.記，n∈N*，其中c為實數(shù).

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；

(2)若{}是等差數(shù)列，證明：c＝0.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，可得d＝2a，對于所有的m∈N*，有Sm＝m2a，從而對于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d1，則bn＝b1＋(n－1)d1，即b1＋(n－1)d1，代入＝na＋d,得n3＋(b1－d1－a＋d)n2＋cd1n＝c(d1－b1)，則對于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)，在(*)式中分別取n＝1，2，3，4，列方程組求解即可.

試題解析：

由題設(shè)，Sn＝na＋d.

(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.

又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b＝b1b4，

即＝a，化簡得d2－2ad＝0.

因為d≠0，所以d＝2a.

因此，對于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.

從而對于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d1，則bn＝b1＋(n－1)d1，

即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表達式，

整理得，對于所有的n∈N*，有

n3＋(b1－d1－a＋d)n2＋cd1n＝c(d1－b1).

令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，則對于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)

在(*)式中分別取n＝1，2，3，4，得

A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，

從而有

由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，從而cd1＝0.即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.

若d1＝0，則由d1－d＝0，得d＝0，與題設(shè)矛盾，

所以d1≠0.又cd1＝0，所以c＝0.