Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}中，令b_n=

1，n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．取n=1時可得S₁=1，又當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）利用a_n可得b_n=n，再利用“錯位相減法”可得T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
∴S₁=1，
又當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5，
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

．
（2）∵bn=

1，n=1 2n-5+5 2 =n，n≥2

，
∴b_n=n，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．