Question

20．已知動點M到點F（0，1）的距離與到直線y=4的距離之和為5．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若動直線l：y=x+m與軌跡E有兩個不同的公共點A、B，求弦長|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）設動點M的坐標為（x，y），根據(jù)兩點的距離公式結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的等式，化簡整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），從而得到軌跡是由兩個拋物線弧連接而成，其圖形如圖所示；
（2）根據(jù)軌跡E的形狀，直線l：y=x+m分別將與拋物線段聯(lián)解，得到直線l與軌跡E有唯一公共點的兩個界點處m的值，再將直線l平移進行觀察，即可得到實數(shù)m的取值范圍；將兩個拋物線段E₁與E₂的方程與直線l方程聯(lián)解，可得交點A．B的橫坐標關(guān)于m的式子，運用兩點間的距離公式算出|AB|，運用導數(shù)研究$f（m）=\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}（0＜m＜8）$的單調(diào)性，即可得到當m=1時，|AB|的最大值．

解答 解：（1）設M（x，y），由題設知：$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|{y-4}|=5$，
①當y≥4時，x²=-16（y-5）即$y=-\frac{x^2}{16}+5（-4≤x≤4）$，其軌跡為E₂，
②當y＜4時，x²=4y即$y=\frac{1}{4}{x^2}（-4≤x≤4）$，其軌跡為E₁，①和②均為E的軌跡方程．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{x^2}{16}+5}\\{y=\frac{x^2}{4}}\end{array}}\right.$解得C（-4，4），D（4，4），
當l過點C時，m=8，
當l與$y=\frac{1}{4}{x^2}$相切于P（x₀，y₀）時，$y'=\frac{x}{2}$，∴$\frac{x_0}{2}=1$，解得x₀=2，y₀=1，∴切點P（2，1），∴m=-1．
綜上：m∈（-1，8）…（8分）
（3）①當-1＜m≤0時，l與E的兩個交點均在E₁上．∴$0＜|{AB}|≤|{OD}|=4\sqrt{2}$．
②當0＜m＜8時，l與E的兩個交點A在E₁上，B在E₂上，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=\frac{x^2}{4}}\end{array}}\right.$解得：$x=2±2\sqrt{1+m}$，∴${x_A}=2-2\sqrt{1+m}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{x^2}{16}+5}\end{array}}\right.$解得：$x=-8±4\sqrt{9-m}$，∴${x_B}=-8+4\sqrt{9-m}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_A}-{x_B}）}^2}+{{（{y_A}-{y_B}）}^2}}=\sqrt{2}|{{x_B}-{x_A}}|=2\sqrt{2}（\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}-5）$
令$f（m）=\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}（0＜m＜8）$．
∴$f'（m）=\frac{1}{{2\sqrt{1+m}}}-\frac{1}{{\sqrt{9-m}}}=\frac{{\sqrt{9-m}-2\sqrt{1+m}}}{{2\sqrt{1+m}•\sqrt{9-m}}}$=$\frac{5（1-m）}{{2\sqrt{1+m}•\sqrt{9-m}（\sqrt{9-m}+2\sqrt{1+m}）}}$
令f'（m）=0，解得m=1，
∴當m∈（0，1），f'（m）＞0，m∈（1，8），f'（m）＜0，
∵$f{（m）_{max}}=f（1）=5\sqrt{2}$，∴${|{AB}|_{max}}=20-10\sqrt{2}＞4\sqrt{2}$，
綜上：${|{AB}|_{max}}=20-10\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題給出動點M滿足的條件，求M的軌跡方程，并討論了直線l與M的軌跡相交截得弦AB長度最大值．著重考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和軌跡方程的討論等知識，屬于中檔題．