如圖,一塊弓形薄鐵片EAF,點(diǎn)M為
EF
的中點(diǎn),其所在圓O的半徑為4dm(圓心O在弓形EMF內(nèi)).∠EOF=
3
,將弓形薄鐵片截成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計(jì)損耗).AD∥EF且A、D在
EF
上,設(shè)∠AOD=2θ.
(1)求矩形鐵片ABCD的面積與關(guān)于θ的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)裁出的矩形鐵片ABCD的面積最大時(shí),求cosθ的值.
考點(diǎn):在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)分類討論,求出AB,AD,可得矩形鐵片ABCD的面積與關(guān)于θ的函數(shù)解析式;
(2)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求cosθ的值.
解答: 解:(1)設(shè)矩形鐵片的面積為S,∠AOM=θ.
當(dāng)0<θ<
π
3
時(shí),AB=4cosθ+2,AD=8sinθ,S=AB×AD=16sinθ(2cosθ+1).
當(dāng)
π
3
≤θ<
π
2
時(shí),AB=8cosθ,AD=8sinθ,S=AB×AD=32sin2θ.
綜上得,矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S=
16sinθ(2cosθ+1),0<θ<
π
3
32sin2θ,
π
3
≤θ<
π
2
;

(2)當(dāng)0<θ<
π
3
時(shí),求導(dǎo),得S′=16(4cos2θ+cosθ-2).
令S′=0,得cosθ=
33
-1
8

記區(qū)間(0,
π
3
)內(nèi)余弦值等于
33
-1
8
的角為θ0(唯一存在).列表:
θ(0,θ0θ0(θ0
π
3

S′+0-
S增函數(shù)極大值減函數(shù)
又當(dāng)
π
3
≤θ<
π
2
時(shí),S=32sin2θ在(
π
3
,
π
2
)上的單調(diào)減函數(shù),
所以當(dāng)θ=θ0即cosθ=
33
-1
8
時(shí),矩形的面積最大.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-alnx-x,g(x)=2x-2x
x
+kex
,(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)若a=2,且不等式xf(x)≥g(x)對于?x∈(0,+∞)恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

兩直線l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0,若l1⊥l2,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn、Tn分別是兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)之和,如果對于所有正整數(shù)n,都有
Sn
Tn
=
3n+1
2n+5
,則a5:b5的值為( 。
A、3:2B、2:1
C、28:23D、以上都不對

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=lg(x+1)的圖象與函數(shù)g(x)=lg(-x+1)的圖象關(guān)于( 。
A、原點(diǎn)對稱B、x軸對稱
C、直線y=x對稱D、y軸對稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

長為4的向量
a
與單位向量
e
的夾角為
3
,則向量
a
在向量
e
方向上的射影向量為
 
,
a
e
方向上的正投影的數(shù)量為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若acosA=bsinB,則,sinAcosA+cos2A=( 。
A、-
1
2
B、
1
2
C、-1
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是定義域上單調(diào)遞減的函數(shù)為(  )
A、y=x-2
B、y=x-1
C、y=lg
1-x
1+x
D、y=x2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題α:|x-1|≤2,命題β:
x-3
x+1
≤0,則命題α是命題β成立的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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