Question

7．已知直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為$\frac{3π}{4}$，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ-\frac{3}{ρ}=2cosθ$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，利用參數(shù)的幾何意義求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵$ρ-\frac{3}{ρ}=2cosθ$，∴ρ²-3=2ρcosθ，∴x²+y²-3=2x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+y²=4，
∵直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為$\frac{3π}{4}$，
∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{3π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
即$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
將直線l與曲線C的方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，
∴t₁•t₂=3，∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．