Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₅=35，a₅和a₇的等差中項(xiàng)為13．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₅=5a₃=35、a₅+a₇=26解得可知首項(xiàng)和公差，代入公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2n+1，進(jìn)而裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因?yàn)镾₅=5a₃=35，a₅+a₇=26，…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，…（4分）
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，…（5分）
${S_n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+2n$，…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n+1，
所以${b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，…（9分）
所以${T_n}=\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．