Question

15．圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求此時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）判斷直線l是否過定點(diǎn)，可將（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R轉(zhuǎn)化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，即可確定所過的定點(diǎn)A（3，1）；再計(jì)算|AC|，與圓的半徑R=$\sqrt{5}$比較，判斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；
（2）弦長最小時(shí)，l⊥AC，直線l被圓C截得的弦長最小，由k_AC=-$\frac{1}{2}$，得直線l的斜率，從而由點(diǎn)斜式可求得m的值．

解答 （1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得x=3，y=1，
故l恒過定點(diǎn)A（3，1）；
又圓心C（1，2），
∴|AC|=$\sqrt{5}$＜5（半徑）
∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交．
（2）解：∵弦長的一半、該弦弦心距、圓的半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
∴當(dāng)l⊥AC（此時(shí)該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，
∴直線l的斜率為k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=$\frac{1}{\frac{2-1}{1-3}}$=2
∵A（3，1）、圓心C（1，2），圓的半徑為r=5
∴弦心距AC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴最短弦長=2×$\sqrt{{r}^{2}-A{C}^{2}}$=2×$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$
∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
整理得：y=-$\frac{2m+1}{m+1}$x+$\frac{7m+4}{m+1}$
∴-$\frac{2m+1}{m+1}$=2
解得m=-$\frac{3}{4}$
∴直線l被圓C截得的線段的最短長度為4$\sqrt{5}$，此時(shí)m的值為-$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系及恒過定點(diǎn)的直線，難點(diǎn)在于（2）中“弦長最小時(shí)，l⊥AC”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．