Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數(shù)，命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）-4＜0對一切x∈R都成立．若“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題P：函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得

1

2

≤

a

2

，解得a即可；命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0對一切x∈R都成立．當(dāng)a=2時(shí)，不等式化為-4＜0，滿足條件；當(dāng)a≠2時(shí)，必須滿足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得即可．由于“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：∵命題P：函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數(shù)，∴

1

2

≤

a

2

，解得a≥1；
命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0對一切x∈R都成立．當(dāng)a=2時(shí)，不等式化為-4＜0，滿足條件；當(dāng)a≠2時(shí)，必須滿足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．綜上可得：-2＜a≤2．
∵“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
∴p與q必然一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，可得

a≥1 a≤-2或a＞2

，解得a＞2；
當(dāng)q真p假時(shí)，可得

a＜1 -2＜a≤2

，解得-2＜a＜1．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．