Question

19．已知如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，對角線AC，BD交于點E，直線AP是圓O的切線，切點為A，∠PAB=∠BAC．
（1）若BD=5，BE=2，求AB的長；
（2）在AD上取一點F，若∠FED=∠CED，求∠BAF+∠BEF的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明△ABD∽△EBA，可得證明AB²=BD•BE，即可求AB的長；
（2）證明∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°，即可得出結論．

解答 解：（1）∵AP是圓O的切線，
∴∠PAB=∠ADB，
由∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC．
又∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴$\frac{AB}{EB}=\frac{BD}{AB}$．
又BD=5，BE=2，
∴AB²=BD•BE=10，∴$AB=\sqrt{10}$．
（2）由（1）知，∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED=∠FED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°．

點評 本題考查三角形相似的證明，考查角的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．