Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）求證：f（x）≥1；
（Ⅱ）若x-1＞alnx對(duì)任意x＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性與最小值，即可證明結(jié)論成立．
（Ⅱ）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-1-alnx（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，
討論a的取值，求出g（x）＞0時(shí)實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），----（1分）
且f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，----（2分）
令f′（x）=0，解得x=1；
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

----（4分）
∴f（x）_min=f（1）=1，----（5分）
∴f（x）≥1．----（6分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x-1-alnx，（x＞0），
依題意，對(duì)于任意x＞1，g（x）＞0恒成立；…（7分）
g′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，…（8分）
∴a≤1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，滿足題意；…（10分）
a＞1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（1，a）	a	（a，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴g（x）在（1，a） 上單調(diào)遞減，…（12分）
所以g（a）＜g（1）=0；  …（13分）
即當(dāng)a＞1時(shí)，總存在g（a）＜0，不合題意； 
 綜上所述，實(shí)數(shù)a的最大值為1．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)與分類討論的應(yīng)用問題，是綜合性題目．