Question

5．（Ⅰ）已知橢圓的長軸是短軸的3倍，且過點A（3，0），并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上一點P（-3，a）到焦點的距離為5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分焦點在x軸與焦點在y軸討論，結(jié)合題意即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）先確定拋物線的焦點一定在x軸負(fù)半軸上，故可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的定義，點M到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可求得拋物線方程．

解答 解：（Ⅰ）若橢圓的焦點在x軸上，
設(shè)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
由題意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\end{array}\right.$
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
若橢圓的焦點在y軸上，
設(shè)方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由題意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=3\end{array}\right.$
∴橢圓方程為$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
故橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
（Ⅱ）由已知設(shè)所求拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），
則準(zhǔn)線方程為$x=\frac{p}{2}$．
由定義知$\frac{p}{2}+3=5$，得p=4，
故所求方程為y²=-8x．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論思想與方程思想，考查拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，利用定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是解決本題的關(guān)鍵．