Question

13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB中點，F(xiàn)是DC上的點，且$DF=\frac{1}{2}AB，PH$為△PAD中AD邊上的高．
（Ⅰ）證明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=2，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積；
（Ⅲ）證明：EF⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直得AB⊥PH，由三角形的高的性質(zhì)得PH⊥AD，由此能證明PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）三棱錐E-BCF的體積為${V_{E-BCF}}=\frac{1}{2}{V_{P-BCF}}$，由此能求出三棱錐E-BCF的體積
（Ⅲ）取AB的中點G，連接GE，GF，PF，則四邊形ADFG為平行四邊形，推導(dǎo)出EF⊥AB，EF⊥BP，由此能證明EF⊥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）由AB⊥平面PAD，PH⊆平面PAD可得：AB⊥PH，
又PH為△PAD中邊AD的高，即PH⊥AD，
而AB∩AD=A，AB，AD⊆平面ABCD，
故由線面垂直的判定定理可得：PH⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由E為PB中點可得：三棱錐E-BCF的體積為${V_{E-BCF}}=\frac{1}{2}{V_{P-BCF}}$，
而又由（1）可得：${V_{P-BCF}}=\frac{1}{3}PH•{S_{△BCF}}=\frac{1}{3}PH•\frac{1}{2}AD•FC=\frac{1}{6}×1×2×1=\frac{1}{3}$，
故所求三棱錐E-BCF的體積為$\frac{1}{6}$．
證明：（Ⅲ）取AB的中點G，連接GE，GF，PF，
由題意知：$AG=\frac{1}{2}AB=DF$，
又AG∥DF，故四邊形ADFG為平行四邊形，
于是得AD∥FG，而EG為△ABP的中位線，故EG∥AP，
又AD∩AP=A，EG∩FG=G，
可得平面EFG∥平面ADP，而AB⊥平面ADP，
于是有AB⊥平面EFG，
又EF⊆平面EFG，因此，EF⊥AB，
在Rt△PDF中，$PF=\sqrt{P{D^2}+D{F^2}}$，在Rt△BFG中，$BF=\sqrt{F{G^2}+B{G^2}}$，
而PD=AD=FG，BG=AG=DF，故 BF=PF，
在等腰三角形BPF中，E為底邊BP的中點，于是有EF⊥BP，
又AB∩BP=B，AB，BP⊆平面PAB，
故由線面垂直的判定定理可得：EF⊥平面PAB．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．