Question

8．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+5x，a＞0．
（1）若不等式f（x）≤0解集為{x|x≤-1}，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥4x+1對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤0，即|2x-a|≤-5x，由x≤-1，可得5x≤2x-a≤-5x，a＞0，解出即可得出．
（2）不等式f（x）≥4x+1化為：|2x-a|≥1-x，由不等式f（x）≥4x+1對x∈R恒成立，即|2x-a|≥1-x，對于任意實(shí)數(shù)成立，可得$1≤\frac{a}{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）不等式f（x）≤0，即|2x-a|≤-5x，∵x≤-1，∴5x≤2x-a≤-5x，a＞0，
解得x$≤\frac{a}{7}$，且x≤$-\frac{a}{3}$，∴$-\frac{a}{3}$=-1，解得a=3．
（2）不等式f（x）≥4x+1化為：|2x-a|≥1-x，
∵不等式f（x）≥4x+1對x∈R恒成立，
∴|2x-a|≥1-x，對于任意實(shí)數(shù)成立，∴$1≤\frac{a}{2}$，解得a≥2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．