Question

18．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．若直線y=x與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且四邊形PF₁QF₂為矩形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{2+\sqrt{6}}$

Answer 1

分析 由題意，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，由此建立方程，找出a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，
y=x代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}}$=c，
∴2a²b²=（b²-a²）c²，
∴2a²（c²-a²）=（c²-2a²）c²，
∴2（e²-1）=e⁴-2e²，
∴e⁴-4e²+2=0，
∵e＞1，∴e²=2+$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查矩形的性質(zhì)，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵．