Question

已知f（x）=x³-ax²+3x，g（x）=lnx+b
（Ⅰ）若曲線h（x）=

f(x)

x

+g（x）在x=1處的切線是x+y=0，求實(shí)數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在[0，2]上的最大最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）h（x）=

f(x)

x

+g（x）=x²-ax+3+lnx+b，求導(dǎo)h′（x）=2x-a+

1

x

；從而可得

2-a+1=-1 1-a+3+b=-1

，從而解得；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，由題意可得3×3²-6a+3=0從而解出a，列表得到函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=

f(x)

x

+g（x）=x²-ax+3+lnx+b，
∴h′（x）=2x-a+

1

x

；
∵在x=1處的切線是x+y=0，
∴

2-a+1=-1 1-a+3+b=-1

，
解得，a=4，b=-1；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵x=3是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（3）=3×3²-6a+3=0，
解得a=5；
故f（x）=x³-5x²+3x，f′（x）=3x²-10x+3，
經(jīng)檢驗(yàn)成立；
在[0，2]列出x，f（x），f′（x）如下表，

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	上升	極大值 13 27	下降	-6

函數(shù)f（x）在x=

1

3

處有最大值

13

27

；
在x=2處有最小值-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．