Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值，通過a與0的大小討論，列出方程，即可求a，b的值；
（2）轉(zhuǎn)化不等式f（2^x）-k•2^x≥0，為k在一側(cè)，另一側(cè)利用換元法通過二次函數(shù)在x∈[-1，1]上恒成立，求出最值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）化簡方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，推出不等式然后求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 附加題：（本題共10分）
解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在[2，3]上為增函數(shù)，
故

g(3)=4 g(2)=1

，可得  

9a-6a+1+b=4 4a-4a+1+b=1

，?

a=1 b=0

．
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在[2，3]上為減函數(shù)．
故

g(3)=1 g(2)=4

  可得  

9a-6a+1+b=1 4a-4a+1+b=4

可得  

a=-1 b=3

，
∵b＜1
∴a=1，b=0
即g（x）=x²-2x+1．f（x）=x+

1

x

-2．…（3分）
（2）方程f（2^x）-k•2^x≥0化為2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，
k≤1+

1

(2x)2

-

2

2x

令

1

2x

=t，k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

2

，2]，記φ（t）=t²-2t+1，
∴φ（t）_min=0，
∴k≤0．…（6分）k
（3）由f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0
得|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0，
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，則方程化為t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴由t=|2^x-1|的圖象（如右圖）知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個(gè)根t₁、t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1，
記φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
則

ϕ(0)=1+2t＞0 ϕ(1)=-k＜0

或

φ(0)=1+2t＞0 φ(1)=-k=0 0＜ 2+3k 2 ＜1

　
∴k＞0．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．