Question

如圖，在Rt△ABC中，|

PA

|=|

BC

|=a且

PA

=

1

2

PQ

，向

PQ

和

BC

的夾角θ取何值，

CP

•

BQ

的值最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)后，進(jìn)而給出向量

BP

，

CQ

的坐標(biāo)，然后利用平面向量的數(shù)量值運(yùn)算公式，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出

BP

•

CQ

的最大值．

解答： 解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y）．
∴

BP

=（x-c，y），

CQ

=（-x，-y-b），

BC

=（-c，b），

PQ

=（-2x，-2y）．
∴

BP

•

CQ

=（x-c）•（-x）+y（-y-b）=-（x²+y²）+cx-by=-a²+cx-by．
∵cosθ=

PQ •BC

| PQ |•| BC |

=

cx-by

a2

．
∴cx-by=a²cosθ．
∴

BP

•

CQ

=-a²+a²cosθ．
故當(dāng)cosθ=1，即θ=0（

PQ

與

BC

方向相同）時(shí)，

BP

•

CQ

最大，其最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)等概念，平面向量的運(yùn)算法則，考查運(yùn)用向量及三角函數(shù)的值域的能力．