Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A=60°，b=2，sinA=$\sqrt{13}$sinB，則向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影為（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 可根據(jù)正弦定理，由sinA=$\sqrt{13}sinB$得出a=$\sqrt{13}b$，從而得出a=$2\sqrt{13}$，進(jìn)一步由正弦定理可求出$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$，$cosB=\frac{7}{2\sqrt{13}}$，從而便可求出sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，從而由正弦定理求出c=8，這樣根據(jù)投影的計算公式便可求出要求的投影的值．

解答 解：由正弦定理，$\frac{a}{2r}=sinA，\frac{2r}=sinB$，帶入$sinA=\sqrt{13}sinB$得：
$a=\sqrt{13}b=2\sqrt{13}$，如圖，在△ABC中，$\frac{2\sqrt{13}}{sin60°}=\frac{2}{sinB}$；
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$，cosB=$\frac{7}{2\sqrt{13}}$；
∴sinC=sin（A+B）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{7}{2\sqrt{13}}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$；
∴$\frac{c}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}=\frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；
解得c=8；
根據(jù)條件，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影為：$|\overrightarrow{AB}|cos60°=c•cos60°=4$．
故選D．

點評 考查正弦定理的應(yīng)用，sin²B+cos²B=1，三角形的內(nèi)角和，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及兩角和的正弦公式，投影的定義及計算公式．