Question

8．已知a∈R，且在（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
（1）若a=1，求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）若展開(kāi)式中x³的系數(shù)為63，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得 ${C}_{n}^{4}$=${C}_{n}^{5}$最大，∴n=9，再根據(jù)a=1，通項(xiàng)公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-1）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$，令x得冪指數(shù)等于0，求得r的值，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．
（2）展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r=4，利用通項(xiàng)公式可得展開(kāi)式中x³的系數(shù)，再根據(jù)次系數(shù)為 63，求得a的值．

解答 解：（1）∵在（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴${C}_{n}^{4}$=${C}_{n}^{5}$最大，∴n=9，
a=1，根據(jù)展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-1）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$，令9-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=6，
故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{9}^{6}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{21}{2}$．
（2）展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-a）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$ 中，令9-$\frac{3r}{2}$=3，
求得r=4，故展開(kāi)式中x³的系數(shù)為${C}_{9}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$•（-a）⁴=63，求得a=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．