Question

10．已知1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，3≤lg$\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$≤4，則lg$\frac{x^2}{{\sqrt{y}}}$的范圍為（　　）

• A． [2，3]
• B． [2，$\frac{23}{8}$]
• C． [$\frac{5}{16}$，$\frac{9}{16}$]
• D． [$\frac{27}{16}$，$\frac{9}{4}$]

Answer 1

分析 由1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，3≤lg$\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$≤4，可得：1≤lgx-lgy≤2，3≤3lgx-$\frac{1}{3}$lgy≤4．設(shè)m≤mlgx-mlgy≤2m，3n≤3nlgx-$\frac{1}{3}$nlgy≤4n，（m，n＞0）．令lg$\frac{x^2}{{\sqrt{y}}}$=2lgx-$\frac{1}{2}$lgy=（m+3n）lgx+（-m-$\frac{1}{3}$n）lgy，可得$\left\{\begin{array}{l}{m+3n=2}\\{-m-\frac{1}{3}n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：∵1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，3≤lg$\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$≤4，
∴1≤lgx-lgy≤2，3≤3lgx-$\frac{1}{3}$lgy≤4，
設(shè)m≤mlgx-mlgy≤2m，3n≤3nlgx-$\frac{1}{3}$nlgy≤4n，（m，n＞0）．
令lg$\frac{x^2}{{\sqrt{y}}}$=2lgx-$\frac{1}{2}$lgy=（m+3n）lgx+（-m-$\frac{1}{3}$n）lgy，
可得$\left\{\begin{array}{l}{m+3n=2}\\{-m-\frac{1}{3}n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{5}{16}$，n=$\frac{9}{16}$．
∴$\frac{5}{16}+\frac{3×9}{16}$≤lg$\frac{x^2}{{\sqrt{y}}}$≤$2×\frac{5}{16}$+$\frac{4×9}{16}$，
化為：lg$\frac{x^2}{{\sqrt{y}}}$∈$[2，\frac{23}{8}]$．
故選：B．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．