Question

如果橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離等于它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍，那么離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y），從而根據(jù)已知條件及橢圓的定義可求得P到左焦點(diǎn)的距離為2a-

x+ a2 c

2

，到左準(zhǔn)線的距離為x+

a2

c

，所以根據(jù)準(zhǔn)線的定義即可得到

2a- x+ a2 c 2

x+ a2 c

=

c

a

，這樣可以解出x，然后根據(jù)-a≤x≤a即可求得離心率

c

a

的范圍．

解答： 解：設(shè)P（x，y），橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

，右焦點(diǎn)為（c，0）；
點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為x+

a2

c

，∴它到右焦點(diǎn)的距離為

x+ a2 c

2

；
∴點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為2a-

x+ a2 c

2

；
∴根據(jù)準(zhǔn)線的定義

2a- x+ a2 c 2

x+ a2 c

=

c

a

；
∴解出x=

a- a2 2c

c a + 1 2

；
∵-a≤x≤a；
∴-a≤

a- a2 2c

c a + 1 2

≤a；
整理得：

2( c a )2- c a +1≥0 2( c a )2+3( c a )-1≥0

；
解得

c

a

≥

-3+ 17

4

，或

c

a

≤

-3- 17

4

（舍去）；
又

c

a

＜1；
該橢圓的離心率的范圍為[

-3+ 17

4

，1）．
故答案為：[

-3+ 17

4

，1）．

點(diǎn)評：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的準(zhǔn)線的概念及準(zhǔn)線方程，以及橢圓的定義，解一元二次不等式．