【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、.短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,.菱形的面積為,離心率.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè),經(jīng)過點(diǎn)M作斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若,求直線的方程.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)由已知條件得出關(guān)于方程組求解即可;
(2)方法一:先由已知得出中垂線過點(diǎn),設(shè)出直線的方程,點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去得關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,最后利用中點(diǎn)在中垂線上得到關(guān)系式求解即可.方法二:先設(shè)出直線的方程,點(diǎn)坐標(biāo),由已知向量關(guān)系式化簡(jiǎn)為坐標(biāo)關(guān)系,利用點(diǎn)差法得出點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,然后把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理即可得到等量關(guān)系,求解即可.
解:(1)∵,∴.
又因?yàn)榱庑?/span>的面積為,即有,即,
所以,從而,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由,知,設(shè),由向量加法的意義,知是線段的中垂線,設(shè)直線的方程為,經(jīng)過N且與垂直的直線為.
設(shè),由消去,得,
于是有.
關(guān)于A,B關(guān)于直線對(duì)稱,故點(diǎn)必在此直線上,
所以,即,所以或,
故所求的直線的方程為或,即或.
解法二:設(shè),因?yàn)?/span>,所以
.
由題得,即
.①
因?yàn)锳、B在橢圓C上,所以,所以.兩式相減,得,② 因?yàn)?/span>的斜率不為0,所以,將②代①,得.③
因直線經(jīng)過,設(shè)直線的方程為,
由消去,得,
于是有,代入③得,解得,或.
故所求直線的方程為或,即.或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠DAB=60°,AD⊥PD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).
(1)在棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得CF∥平面PAE,并說明理由;
(2)若AC⊥PB,二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時(shí),求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.πC.πD.3π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,是側(cè)棱上的點(diǎn).
(1)若,證明:是的中點(diǎn);
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,組合體由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐構(gòu)成,其中是圓錐底面圓心,是圓弧上一點(diǎn),滿足是銳角,.
(1)在平面內(nèi)過點(diǎn)作平面交于點(diǎn),并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)在(1)中,若是中點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某次考試之后,班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本,他們的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如下表,對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖如圖所示:
學(xué)生編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)成績(jī) | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理成績(jī) | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論:
①根據(jù)散點(diǎn)圖,可以判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系;
②根據(jù)散點(diǎn)圖,可以判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有一次函數(shù)關(guān)系;
③從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)(記為甲、乙),若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>80分,乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>60分,則可以判斷出甲同學(xué)的物理成績(jī)一定比乙同學(xué)的物理成績(jī)高;
④從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)(記為甲、乙),若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>80分,乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>60分,則不能判斷出甲同學(xué)的物理成績(jī)一定比乙同學(xué)的物理成績(jī)高;
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新冠肺炎期間某商場(chǎng)開通三種平臺(tái)銷售商品,收集一月內(nèi)的數(shù)據(jù)如圖1;為了解消費(fèi)者對(duì)各平臺(tái)銷售方式的滿意程度,該商場(chǎng)用分層抽樣的方法抽取4%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.樣本容量為240
B.若樣本中對(duì)平臺(tái)三滿意的人數(shù)為40,則
C.總體中對(duì)平臺(tái)二滿意的消費(fèi)者人數(shù)約為300
D.樣本中對(duì)平臺(tái)一滿意的人數(shù)為24人
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0),若直線L與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且|PA||PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值.
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