Question

19．如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC=15°，沿山坡前進50m到達B處，又測得∠DBC=45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，則cosθ=sin（π-∠BCD）=sin∠BCD．

解答 解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，即$\frac{50}{\frac{1}{2}}=\frac{BD}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$，
∴BD=25（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）．
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，即$\frac{25}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{25（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{sin∠BCD}$，
∴sin∠BCD=$\sqrt{3}-1$．
∴cosθ=sin（π-∠BCD）=sin∠BCD=$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查了正弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．