Question

9．已知△ABC的三邊長為AB=2，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值為（　　）

• A． 0
• B． 4
• C． -4
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC的三邊長度即可判斷出△ABC為直角三角形，∠C=90°，從而可以求出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=0$，而根據(jù)數(shù)量積的運算及向量加法的幾何意義即可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-4$，從而便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：如圖，
根據(jù)條件，AB²=BC²+AC²；
∴∠C=90°；
∴$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{CA}$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=0$；
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}）•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AB}=-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-4$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=-4$．
故選：C．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運算，向量加法的幾何意義，相反向量的概念．