Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，若數(shù)列{$\frac{1}{2{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{99}{100}$，則n=99．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，利用a_n+1=S_n+1-S_n化簡可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而裂項(xiàng)可知$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加、比較即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1a_n+2-$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
整理得：a_n+2-a_n=2，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{2{S}_{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵T_n=$\frac{99}{100}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴n=99，
故答案為：99．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．