Question

5．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1的上、下焦點，A為橢圓上一點，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）則|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a=6，運用橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=2a=6$\sqrt{3}$，由向量的中點表示形式，可得B為AF₁的中點，C為AF₂的中點，運用中位線定理和橢圓定義，即可得到所求值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1的a=3$\sqrt{3}$，
由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=2a=6$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），可得B為AF₁的中點，
$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），可得C為AF₂的中點，
由中位線定理可得|OB|=$\frac{1}{2}$|AF₂|，
|OC|=$\frac{1}{2}$|AF₁|，
即有|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|AF₂|）=a=3$\sqrt{3}$，
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查向量的中點表示形式，同時考查中位線定理，運用橢圓的第一定義是解題的關鍵，屬于中檔題．