Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

，若對(duì)任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²t²+at，則正實(shí)數(shù)a的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：此題的突破口在于如何才會(huì)存在唯一的x滿足條件，結(jié)合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，即只有當(dāng)f（x）＞2時(shí)，才會(huì)存在一一對(duì)應(yīng)．

解答： 解：根據(jù)f（x）的函數(shù)，我們易得出其值域?yàn)椋篟，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）時(shí)，值域?yàn)椋?，1]；
f（x）=log₂x，（x＞0）時(shí)，其值域?yàn)镽，
∴可以看出f（x）的值域?yàn)椋?，1]上有兩個(gè)解，
要想f（f（x））=2a²t²+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因?yàn)?a²t²+at＞0），
所以：f（x）＞2，
解得：x＞4，
當(dāng) x＞4時(shí)，x與f（f（x））存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，
∴2a²t²+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，
所以有：（2at-1）（at+1）＞0，
解得：t＞

1

2a

或者t＜-

1

a

（舍去），
∴

1

2a

≤1，
∴a≥

1

2

，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是可以把2a²t²+at當(dāng)作是一個(gè)數(shù)，然后在確定數(shù)的大小后再把它作為一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)．