Question

15．已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)是2，外接球的表面積是16π，則該三棱柱的體積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)三棱柱外接球的表面積是16π，求出該球的半徑R=2，根據(jù)正三棱柱底面邊長(zhǎng)是2，可得底面三角形的外接圓半徑，從而可求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)，即可求出該三棱柱的體積．

解答 解：∵該三棱柱外接球的表面積是16π，
∴4πR²=16π，
∴該球的半徑R=2，
又正三棱柱底面邊長(zhǎng)是2，
∴底面三角形的外接圓半徑r=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴該三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴該三棱柱的體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=4$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．