Question

16．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=1-3i（i是虛數(shù)單位）
（1）求復(fù)數(shù)z的虛部；
（2）若復(fù)數(shù)（1+ai）z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為$\overline{z}$，求復(fù)數(shù)$\frac{\overline{z}}{z+1}$的模．

Answer 1

分析 （1）由（1+i）z=1-3i，得$z=\frac{1-3i}{1+i}$，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案；
（2）把復(fù)數(shù)z代入（1+ai）z化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案；
（3）由復(fù)數(shù)z求出$\overline{z}$，然后代入復(fù)數(shù)$\frac{\overline{z}}{z+1}$化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．

解答 解：（1）由（1+i）z=1-3i，
得$z=\frac{1-3i}{1+i}$=$\frac{（1-3i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i$，
∴復(fù)數(shù)z的虛部為：-2；
（2）（1+ai）z=（1+ai）（-1-2i）=2a-1-（2+a）i，
∵復(fù)數(shù)（1+ai）z是純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1=0}\\{-（2+a）≠0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的值為：$\frac{1}{2}$；
（3）由z=-1-2i，
得$\overline{z}=-1+2i$．
則$\frac{\overline{z}}{z+1}$=$\frac{-1+2i}{-1-2i+1}=\frac{2i（-1+2i）}{-2i•2i}=\frac{-4-2i}{4}$=$-1-\frac{1}{2}i$，
∴|z|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴復(fù)數(shù)$\frac{\overline{z}}{z+1}$的模為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．