Question

14．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列．根據(jù)公式b_n=b₁•q^n-1，S_n=${na}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}×d$，可得d，q的方程，求出d和q，繼而寫出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果分別求出數(shù)列{a_n}的前n項和以及數(shù)列{b_n}的前n項和，兩者相加即可得數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列．
由題意$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}（3+3d）=36}\\{q（2+d）=8}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{2}{3}}\\{q=6}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1或${a}_{n}=\frac{1}{3}（5-2n）$，b_n=6^n-1；
（2）①若${a_n}=2n-1，{b_n}={2^{n-1}}$，
則為S_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+n（n-1）={n^2}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$，
所以數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n=n²+2ⁿ-1；
②若${a_n}=\frac{1}{3}（{5-2n}），{b_n}={6^{n-1}}$
則數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+\frac{n（n-1）}{2}（-\frac{2}{3}）=\frac{{4n-{n^2}}}{3}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{{1-{6^n}}}{1-6}=\frac{{{6^n}-1}}{5}$，
所以數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n=$\frac{{4n-{n^2}}}{3}$$+\frac{6^n}{5}-\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查了運算能力，屬于中檔題．