Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-|x|，若f（log₃（m+1））＜f（2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{8}{9}$，8）．

Answer 1

分析 分析f（x）=x²-|x|在（0，+∞）上的表達(dá)式，可以得到函數(shù)圖象位于y軸右側(cè)圖象，再根據(jù)已知條件，可以得出函數(shù)f（x）=x²-|x|為R上的偶函數(shù)，因此作出函數(shù)完整的圖象，再根據(jù)圖象解不等式f（log₃（m+1））＜f（2），問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易行，最后解決關(guān)于m的對(duì)數(shù)不等式，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：易知函數(shù)f（x）=x²-|x|為偶函數(shù)，
且x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²-x，
在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，（ $\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
作出f（x）圖象如圖所示：

因此不等式f（log₃（m+1））＜f（2）等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-2＜lo{g}_{3}（m+1）＜2}\end{array}\right.$
解這個(gè)不等式得$-\frac{8}{9}$＜m＜8
故答案為：（-$\frac{8}{9}$，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來(lái)解不等式問(wèn)題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想解題．