Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，CC₁=4，M為棱CC₁上一點．
（1）若C₁M=1，求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=2，求證BM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由C₁D₁∥B₁A₁，得∠B₁A₁M是異面直線A₁M和C₁D₁所成角，由此能示出異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值．
（2）C₁M=2時，由勾股定理得B₁M⊥BM，A₁M⊥BM，由此能證明BM⊥平面A₁B₁M．

解答： （1）解：∵C₁D₁∥B₁A₁，
∴∠B₁A₁M是異面直線A₁M和C₁D₁所成角，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥B₁M，
∵AB=2，BC=2，CC₁=4，M為棱CC₁上一點，C₁M=1，
∴B₁M=

B1C12+MC12

=

4+1

=

5

，
∴tan∠B₁A₁M=

B1M

A1B1

=

5

2

，
∴異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值為

5

2

．
（2）證明：C₁M=2時，B₁M=BM=

BC2+CM2

=2

2

，
∴B1M2+BM2=BB12，∴B₁M⊥BM．
∵A1M2=A1C12+MC12=4+4+4=12，
A1B2=16+4=20，
∴A1M2+BM2=A1B2，
∴A₁M⊥BM，
又A₁M∩B₁M=M，∴BM⊥平面A₁B₁M．

點評：本題考查異面直線所成角的正切值的求法，考查直線與平面的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．