Question

13．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1恒成立．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：x∈R時，恒有f（x）＞0；
（3）判斷f（x）在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．得出f（0）=1，
（2）分類證明，：①當(dāng)x＞0時，f（x）＞1＞0成立；②當(dāng)x=0時，f（x）=f（0）=1＞0成立；③當(dāng)x＜0時，令m=x，n=-x，即可證明，
（2）任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂），確定出f（x₁）＞f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增

解答 解：（1）：令m=1，n=0，則有：f（1+0）=f（1）•f（0）⇒f（1）=f（1）•f（0）⇒f（1）（1-f（0））=0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞1＞0，
∴1-f（0）=0，
∴f（0）=1
（2）：①當(dāng)x＞0時，f（x）＞1＞0成立；
②當(dāng)x=0時，f（x）=f（0）=1＞0成立；
③當(dāng)x＜0時，令m=x，n=-x，則有：f（x+（-x））=f（x）•f（-x）⇒f（0）=f（x）•f（-x）⇒f（x）•f（-x）=1＞0，
∵x＜0，
∴-x＞0，
∴f（-x）＞1＞0，
故f（x）＞0成立．
綜上可得：x∈R時，恒有f（x）＞0．
（3）：f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
由（2）得：x∈R時，恒有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞0
又x₁＞x₂，∴x₁-x₂＞0，
由當(dāng)x＞0時，f（x）＞1恒成立得：f（x₁-x₂）＞1⇒f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在R上是增函數(shù)．

點評 本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化．牢牢把握所給的關(guān)系式，對式子中的字母準(zhǔn)確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問題常用的思路