Question

18．已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）若曲線g（x）=f（x）+x上點(diǎn)（1，g（1））處的切線過點(diǎn)（0，2），求函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上無零點(diǎn)，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（1），求出a的值，從而求出g（x）的遞減區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=（3-a）x-（2-a）-2lnx，
∴g′（x）=3-a-$\frac{2}{x}$，∴g′（1）=1-a，
又g（1）=1，∴1-a=$\frac{1-2}{1-0}$=-1，解得：a=2，
由g′（x）=3-2-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$＜0，解得：0＜x＜2，
∴函數(shù)g（x）在（0，2）遞減；
（2）∵f（x）＜0在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）無零點(diǎn)，只需任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，
即對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
從而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
∴l(xiāng)（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數(shù)y=f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上無零點(diǎn)，則a的最小值是2-4ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．