Question

8．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求動點f（x）的解析式；
（2）當a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=f（x）在R上恰好有5個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可求f（0）=0，然后設設x＜0，則-x＞0，代入已知可求f（-x0，結(jié)合奇函數(shù)f（x）=-f（-x），可求；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，只需f（x）=0在（0，+∞）有2個不同的實根即可，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值為正，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，且定義域為R
則f（0）=0，
設x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-ln（-x）-ax-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）a=1時，x＞0，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞減，
在（-1，0），（0，1）遞增；
（3）∴f（x）是奇函數(shù)，則f（x）的圖象關于（0，0）對稱，
由f（x）在R上恰好有5個零點，得有2個正根，2個負根，1個零根，
∴只需f（x）=0在（0，+∞）有2個不同的實根即可，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a＞0時，f′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
∴f（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值-lna，
∴-lna＞0，0＜a＜1，
故a∈（0，1）．

點評 本題主要考查了利用奇函數(shù)的對稱性求解函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值，求解參數(shù)的范圍，本題有一定的難度．