Question

【題目】設(shè),()是任意的和為正數(shù)的個(gè)不同的實(shí)數(shù),(.)是這個(gè)數(shù)的一個(gè)排列.若對(duì)任意的,有,則稱(chēng)()是一個(gè)“好排列”.求好排列個(gè)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

一方面,當(dāng),噸,均小于0時(shí),易知好排列個(gè)數(shù)為.

先證明：好排列個(gè)數(shù)的最小值就是

對(duì)任意滿(mǎn)足條件的.將放在圓周上,而圓排列的個(gè)數(shù)為.

接下來(lái)證明：任意一個(gè)圓排列均對(duì)應(yīng)于題設(shè)所求的一個(gè)好排列,且不同的圓排列對(duì)應(yīng)不同的好排列.

設(shè)的一個(gè)圓排列為 (約定.),定義元好排列()滿(mǎn)足對(duì)任意的,,則()為元好排列.

對(duì)所有的,取以為第一項(xiàng)的好排列,易知這種好排列是存在的.一個(gè)正數(shù)就為1元好排列.取好排列中最長(zhǎng)的一個(gè),不妨設(shè)該好排列的第1項(xiàng)為,長(zhǎng)度為,即為好排列.

(l)若,則結(jié)論得證.

(2)若,則由的最大性知.

又,故.

設(shè)為使的最小的,

則且

均為正數(shù).故()為元好排列.

于是,( ; )為長(zhǎng)度大于l的好排列,矛盾.

【注】若()與()有重復(fù)項(xiàng),則去掉中的重復(fù)項(xiàng),同樣可以得到長(zhǎng)度大于的好排列.

從而,.

因此,一個(gè)圓排列對(duì)應(yīng)一個(gè)好排列.又顯然不同的圓排列對(duì)應(yīng)不同的好排列.

綜上,好排列至少有個(gè).