Question

過點(diǎn)A（4，-2）任作一條直線l與拋物線y²=2x交于不同的兩點(diǎn)P，Q，問：拋物線y²=2x上是否存在點(diǎn)B，使∠PBQ總等于90°？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)拋物線y²=2x上存在點(diǎn)B，使∠PBQ總等于90°．設(shè)出直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，設(shè)B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，結(jié)合兩直線垂直的條件，化簡(jiǎn)整理，得到2m（y₀-2）+y₀²-4=0，再由恒等式知識(shí)即可求得B的坐標(biāo)．

解答： 解：假設(shè)拋物線y²=2x上存在點(diǎn)B，使∠PBQ總等于90°．
設(shè)直線l：x-4=m（y+2），
與拋物線y²=2x聯(lián)立，消去x，得y²-2my-4（m+2）=0，
設(shè)B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4（2+m），①
k_PB=

y1-y0

x1-x0

=

y1-y0

y12-y02 2

=

2

y1+y0

，
k_QB=

y2-y0

x2-x0

=

y2-y0

y22-y02 2

=

2

y2+y0

，
由于∠PBQ=90°，則PB⊥QB，
即有k_PB•k_QB=-1，
得y₁y₂+y₀（y₁+y₂）+y₀²=-4，
將①代入得，2m（y₀-2）+y₀²-4=0，
當(dāng)y₀=2時(shí)，上式恒成立 此時(shí)x₀=2，
所以拋物線y²=2x上存在點(diǎn)B（2，2），使∠PBQ總等于90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查兩直線垂直的條件，考查恒成立問題注意運(yùn)用恒等式的性質(zhì)，屬于中檔題．