【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,且平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)證明AB∥CD,即可證明AB∥面PCD,然后證明AB∥EF;(2) 取AD中點(diǎn)G,連接PG,GB證明AD⊥GB,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,設(shè)PA=PD=AD=2,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求出平面AFE,PAF的法向量,利用向量法求解平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值即可.
解:(1)∵底面是菱形,∴,
又∵面,面,
∴面
又∵,,,四點(diǎn)共面,且平面平面,
∴
(2)取中點(diǎn),連接,,∵,∴,
又∵平面平面,且平面平面,
∴平面,∴,
在菱形中,∵,,是中點(diǎn),
∴
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),
則,, ,,,
又∵,點(diǎn)是棱中點(diǎn),
∴點(diǎn)是棱中點(diǎn),
∴,,,
設(shè)平面的法向量為,則有,∴ ,
不妨令,則平面的一個(gè)法向量為
∵平面,∴是平面的一個(gè)法向量,
∵,
∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解,記實(shí)數(shù)m的最大值為M.
(1)求M的值;
(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+c=M,求證: + ≥1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知P是直線l:3x-4y+11=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線(A,B是切點(diǎn)),C是圓心,那么四邊形PACB的面積的最小值是( )
A. B. 2 C. D. 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1,
則下列四個(gè)命題:
①P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐A—D1PC的體積不變;
②P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;
③P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角P—AD1—C的大小不變;
④M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn),則M點(diǎn)的軌跡是過(guò)D1點(diǎn)的直線D1A1。
其中真命題的編號(hào)是 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是( 。
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,2]
C.(﹣4,4]
D.(﹣4,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣ax﹣1(a∈R).
(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a>0時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)<2x﹣3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等比數(shù)列{an}中,前7項(xiàng)和S7=16,又a12+a22+…+a72=128,則a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=( )
A.8
B.
C.6
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,
(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
(2)a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是( )
A.y=x+
B.y=cosx+ (0<x< )
C.y=
D.y=
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