Question

10．定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)f（x），?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=1，則方程f（x）-f′（x）=1的解所在區(qū)間是（1，2）．

Answer 1

分析 由設t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，求出f（x）=lnx+1，則方程f（x）-f′（x）=1的解可轉化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根據(jù)零點存在定理即可判斷．

解答 解：令f（x）-lnx=t，
由函數(shù)f（x）單調可知t為正常數(shù)，
則f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，
設$g（t）=t+lnt，{g^'}（t）=1+\frac{1}{t}＞0$，
所以g（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（1）=1，所t=1，
∴f（x）=1+lnx，而${f^'}（x）=\frac{1}{x}$，
所以方程可化為$lnx-\frac{1}{x}=0$，
記$h（x）=lnx-\frac{1}{x}（{x＞0}）$，
而${h^'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
所以h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又h（1）＜0，h（2）＞0，
所以方程的解在區(qū)間（1，2）內，
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查了導數(shù)的運算和零點存在定理，關鍵是求出f（x），屬于中檔題．