Question

已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，且關(guān)于的方程在上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列滿足，（），求證：.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出的定義域及導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增知，≥0在定義域內(nèi)恒成立，通過參變分離化為在定義域內(nèi)恒成立，求出的最小值，即≤即為的取值范圍；（Ⅱ）先將關(guān)于的方程在[1,4]上恰有兩個不等實根轉(zhuǎn)化為方程 =在[1,4]上恰有兩個不等實根，即函數(shù)y=（x∈[1,4]）圖像與y=b恰有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)通過研究函數(shù)y=（x∈[1,4]）的單調(diào)性、極值、最值及圖像，結(jié)合y=（x∈[1,4]）的圖像，找出y=（x∈[1,4]）與y=b恰有兩個交點時b的取值范圍，即為所求;（Ⅲ）利用（x≠1），將放縮為即，通過累積，求出的范圍，即為所證不等式.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

，依題意在時恒成立，

則在時恒成立，即，

當(dāng)時，取最小值-1，所以的取值范圍是 4分

（Ⅱ），由得在上有兩個不同的實根，

設(shè)

，時，，時，

，，

，得

則 8分

（Ⅲ）易證當(dāng)且時，.

由已知條件，

故所以當(dāng)時，，相乘得又故，即 12分

考點：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運算法則，導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，運算求解能力.