Question

已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，過兩點A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1）） 的直線的斜率記為g（t）
（1）求g（t）的解析式及其單增區(qū)間．
（2）若g（t₀）=

4

5

，且t₀∈（-

1

2

，1），求g（t₀+1）的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=cos（

π

3

t+

π

6

），令2kπ-π≤

π

3

t+

π

6

≤2kπ，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由條件求得cos（

π

3

t₀+

π

6

）=

4

5

，sin（

π

3

t₀+

π

6

）=

3

5

，再根據(jù)g（t₀+1）=cos[（

π

3

t₀+

π

6

）+

π

3

]，利用兩角和的余弦公式計算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x=sin

π

3

x，
g（t）=f（t+1）-f（t）
=sin（

π

3

t+

π

3

）-sin

π

3

t
=

3

2

cos

π

3

t-

1

2

sin

π

3

t
=cos（

π

3

t+

π

6

）．
令2kπ-π≤

π

3

t+

π

6

≤2kπ，k∈z，求得6k-

7

2

≤x≤6k-

1

2

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[6k-

7

2

，6k-

1

2

]，k∈z．

（2）g（t₀）=cos（

π

3

t₀+

π

6

）=

4

5

，且t₀∈（-

1

2

，1），
∴

π

3

t₀+

π

6

∈（0，

π

2

），
∴sin（

π

3

t₀+

π

6

）=

3

5

．
∴g（t₀+1）=cos[

π

3

（t₀+1）+

π

6

]
=cos[（

π

3

t₀+

π

6

）+

π

3

]
=

1

2

cos（

π

3

t₀+

π

6

）-

3

2

sin（

π

3

t₀+

π

6

）
=

1

2

×

4

5

-

3

2

×

3

5

=

4-3 3

10

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．