Question

為選拔選手參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽”活動(dòng)．為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（理科）（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90，）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（文科）（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率公式和圖求出樣本容量n，由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出x、y的值；
（2）理科：先求出分?jǐn)?shù)在[80，90）、[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求出抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值，由概率公式分別求出它們的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX；
文科：先對(duì)7名學(xué)生分類(lèi)進(jìn)行編號(hào)，列出所有的基本事件，再列出2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況，
利用概率公式和對(duì)立事件的概率公式求出即可．

解答： 解：（1）由題意可知，樣本容量n=

8

0.016×10

=50，y=

2

50×10

=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（理科）（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，共7人．
抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為1，2，3，則
P（X=1）=

C 1 5 C 2 2

C 3 7

=

5

35

=

1

7

，P（X=2）=

C 2 5 C 1 2

C 3 7

=

20

35

=

4

7

，P（X=3）=

C 3 5 C 0 2

C 3 7

=

10

35

=

2

7

．
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	1 7	4 7	2 7

所以EX=1×

1

7

+2×

4

7

+3×

2

7

=

15

7

．…（12分）
（文科）（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為1、2、3、4、5，
分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為a、b．
抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（1，b），（2，3），
（2，4），（2，5），（2，a），（2，b），（3，4），（3，5），（3，a），
（3，b），（4，5），（4，a），（4，b），（5，a），（5，b），（a，b）．（8分）
其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）．
∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率P=1-

10

21

=

11

21

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖，隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望，以及古典概型，比較綜合．