Question

【題目】已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（Ⅰ）求證：f（x）≥5；
（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，15﹣2f（x）＜a2+ 都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ ， ∴f（x）的最小值為5，∴f（x）≥5．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．
∵ ，
“=”成立 ，即 ，
∴當(dāng) 時(shí)， 取得最小值5．
當(dāng) 時(shí)， ，
又∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x， 都成立，
∴ ．∴a的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，得到關(guān)于f（x）的分段函數(shù)，從而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．