Question

若點(diǎn)P（x，y）為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是它的左、右焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=θ，求證：S△PF1F2=b²•tan

θ

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓定義及余弦定理聯(lián)立求得|PF₁||PF₂|，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 證明：由題意定義得：|PF₁|+|PF₂|=2a，
在三角形F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁||PF₂|cosθ，
則4c2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF₁||PF₂|cosθ．
∴4c²=4a²-2（1+cosθ）|PF₁||PF₂|，
則|PF1||PF2|=

2b2

1+cosθ

．
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1||PF2|sinθ=

1

2

×

2b2sinθ

1+cosθ

=b²•tan

θ

2

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓定義及余弦定理得運(yùn)用，是中檔題．