Question

1．已知定義在（0，+∞）上函數f（x）滿足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，則f（x）的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據條件，利用方程組法進行求解，先求出函數f（x）的解析式，然后利用基本不等式的性質進行求解即可．

解答 解：∵2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，①
∴2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=3x²，②
①×2+②得3f（x）=$\frac{6}{{x}^{2}}$+3x²，
即f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²，
∵x＞0，
∴f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²≥2$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}•{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{2}{{x}^{2}}$=x²，即x²=2，x=$\sqrt{2}$時，取得號，
則函數f（x）的最小值是2$\sqrt{2}$，
 故答案為：2$\sqrt{2}$，

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及函數最值的求解，利用方程組法先求出函數的解析式，然后利用基本不等式是解決本題的關鍵．