Question

16．小明在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(gè)，甲、乙、丙每人每次搶到紅包的概率均為$\frac{1}{3}$．
（1）若小明發(fā)放1元的紅包2個(gè)，求甲最多搶到1個(gè)紅包的概率；
（2）若小明共發(fā)放3個(gè)紅包，第一次發(fā)放5元，第二次發(fā)放5元，第三次發(fā)放10元，記甲搶到紅包的總金額為ζ元，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）若小明發(fā)放1元的紅包2個(gè)，利用互斥事件的概率公式求甲最多搶到1個(gè)紅包的概率；
（2）由題意知X的所有可能取值為0，5，10，15，20，由事件的獨(dú)立性和互斥性，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“甲最多搶到一個(gè)紅包”為事件A，則P（A）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{9}$；
（2）ζ的所有可能值為0，5，10，15，20．
P（ζ=0）=$（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$；P（ζ=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$；P（ζ=10）=$（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{6}{27}$；
P（ζ=15）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，P（ζ=20）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，故ζ的分布列：

ζ	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

期望Eζ=0×$\frac{8}{27}$+5×$\frac{8}{27}$+10×$\frac{6}{27}$+15×$\frac{4}{27}$+20×$\frac{1}{27}$=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意事件的獨(dú)立性和互斥性的合理運(yùn)用．