Question

如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤

π

3

），分別設(shè)S_△OAC，S_△ABC的面積為S₁和S₂．
（1）用sinθ、cosθ表示S₁和S₂；
（2）求

S1

cosθ

+

S2

sinθ

的最大值及取最大值時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：單位圓與周期性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)定義，有∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，可求得S₁的值，由S₁+S₂=四邊形OABC的面積即可求S₂的值．
（2）由（1）知，

S1

cosθ

+

S2

sinθ

=

2

sin（θ-

π

4

）+1，可得-

π

4

＜θ-

π

4

≤

π

12

，從而可求得-

2

2

≤sin（θ-

π

4

）≤sin

π

12

=

6 - 2

4

即可求得最大值及取最大值時(shí)θ的值．

解答： 解：（1）根據(jù)三角函數(shù)定義，有∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，
∴∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，
∴S₁=

1

2

sin（3θ-θ）=

1

2

sin2θ，
∵S₁+S₂=四邊形OABC的面積=

1

2

•1•1•sinθ+

1

2

•1•1•sinθ=sinθ，
∴S₂=sinθ-

1

2

sin2θ=sinθ（1-cosθ）．

（2）由（1）知，

S1

cosθ

+

S2

sinθ

=

sinθcosθ

cosθ

+

sinθ(1-cosθ)

sinθ

=sinθ-cosθ+1=

2

sin（θ-

π

4

）+1，
∵0＜θ≤

π

3

，∴-

π

4

＜θ-

π

4

≤

π

12

，
∴-

2

2

≤sin（θ-

π

4

）≤sin

π

12

=

6 - 2

4

，
∴

S1

cosθ

+

S2

sinθ

的最大值為

6 - 2

4

，此時(shí)θ的值為

π

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了單位圓與周期性，三角函數(shù)的求值，三角函數(shù)值域的解法，屬于基本知識的考查．