分析 (1)由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=(a+b+c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$),運用三元均值不等式,即可得證;
(2)由$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$),運用三元均值不等式,即可得證.
解答 證明:(1)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=(a+b+c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$)≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$
=9,當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時,取得等號;
(2)2=(a+b)+(b+c)+(a+c),
則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)
≥$\frac{1}{2}$•3$\root{3}{(a+b)(b+c)(c+a)}$•3$\root{3}{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$=$\frac{9}{2}$.
當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時,取得等號.
點評 本題考查不等式的證明,注意運用三元均值不等式的運用,以及滿足的條件:一正二定三等,考查推理能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 在區(qū)間($\frac{1}{e},1$),(1,e)內(nèi)均有零點 | |
B. | 在區(qū)間($\frac{1}{e},1$),(1,e)內(nèi)均無零點 | |
C. | 在區(qū)間($\frac{1}{e},1$)內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點 | |
D. | 在區(qū)間($\frac{1}{e},1$)內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2,-1 | B. | 2,1 | C. | -1,-2 | D. | 1,-2 |
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