Question

8．（1）函數(shù)$f（x）=log{{\;}_a^{（x+3）}}-1$（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0．求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．
（2）已知$x，y∈（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$且xy=-1．求$s=\frac{3}{{3-{x^2}}}+\frac{12}{{12-{y^2}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)經(jīng)過的定點，得到m，n的關系，利用基本不等式求解表達式的最值．
（2）先將關于s的表達式整理，再根據(jù)xy=1，由基本不等式的性質求出即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=log{{\;}_a^{（x+3）}}-1$（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A（-2，-1），
點A在直線mx+ny+1=0上，則，2m+n=1，mn＞0．
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$$+\frac{2m}{n}$$≥3+2\sqrt{2}$，當且僅當n=$\sqrt{2}$m，并且2m+n=1時取等號．
表達式的最小值為：3$+2\sqrt{2}$．
（2）解：$s=\frac{3}{{3-{x^2}}}+\frac{12}{{12-{y^2}}}$=$\frac{3（12-{y}^{2}）+12（3-{x}^{2}）}{（3-{x}^{2}）（12-{y}^{2}）}$=$\frac{72-12{x}^{2}-3{y}^{2}}{36-12{x}^{2}-3{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{2}}$，
∵xy=-1，∴x²y²=1，
∴s=$\frac{72-12{x}^{2}-3{y}^{2}}{36-12{x}^{2}-3{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{2}}$=1+$\frac{35}{37-12{x}^{2}-3{y}^{2}}$，
∵12x²+3y²≥2$\sqrt{36{x}^{2}{y}^{2}}$=12，
∴s≥1+$\frac{35}{37-12}$=$\frac{12}{5}$，
當且僅當“12x²=3y²”即x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}$或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=-$\sqrt{2}$時“=”成立，
表達式的最小值為：$\frac{12}{5}$

點評 本題考查了函數(shù)的最值問題，考查基本不等式的性質，是一道中檔題．